每日高中数学提分挑战卷 - Day 2

【解题过程与踩分标准】

解：(1) 由余弦定理得：\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\) [💡 踩分点：写出或变形出余弦定理核心公式即可得 2分]
将已知数据代入公式：\(b^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \times 2 \times \sqrt{2} \times \cos\frac{\pi}{4}\) [💡 踩分点：数据代入正确无误得 4分]
计算：\(b^2 = 4 + 2 - 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 - 4 = 2\)
因为边长必为正数，所以解得 \(b = \sqrt{2}\)。 [💡 踩分点：求出边长结果准确累计得 6分]

(2) 因为第一问求得 \(b = \sqrt{2}\)，且题目已知条件给出了 \(c = \sqrt{2}\)，
所以可得 \(b = c\)，即判断出 \(\triangle ABC\) 为等腰三角形。 [💡 踩分点：推理出两边相等或等腰性质得 9分]
根据大边对大角及等腰三角形性质，可直接求得 \(C = B = \frac{\pi}{4}\)。 [💡 踩分点：得出角C最终正确值累计得 12分]
(解法二注：第二问若使用正弦定理 \(\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}\) 运算，解出 \(\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，并结合大边对大角定理即 \(c < a\) 推理出 \(C\) 必为锐角进而得出 \(\frac{\pi}{4}\)，步骤逻辑完整同样给满分！)

【解题过程与踩分标准】

证明与解：(1) 因为原几何体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 是长方体，根据长方体性质可知侧棱 \(AA_1 \perp\) 底面 \(ABCD\)。
因为 \(BD \subset\) 平面 \(ABCD\)，所以必有 \(AA_1 \perp BD\)。 [💡 踩分点：明确证出或提到线面垂直转换出线线垂直得 2分]
因为底面 \(ABCD\) 是正方形，利用正方形对角线互相垂直的几何特征，可得 \(AC \perp BD\)。 [💡 踩分点：写出底面对角线垂直得 4分]
又因为 \(AA_1 \cap AC = A\)，且两条直线都在平面 \(A_1AC\) 内，所以根据线面垂直判定定理，可得 \(BD \perp\) 平面 \(A_1AC\)。 [💡 踩分点：严格证出线面垂直关系得 5分]
因为关键直线 \(A_1C \subset\) 平面 \(A_1AC\)，所以最终结论成立：\(BD \perp A_1C\)。 [💡 踩分点：第一问完全证毕累计得 6分]

(2) 三棱锥 \(A_1-ABD\) 的顶点为 \(A_1\)，底面为 \(\triangle ABD\)，其对应的高即为侧棱 \(AA_1\)。 [💡 踩分点：正确找准大题的底面积与对应高得 8分]
由于底面正方形直角，等腰直角三角形面积 \(S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\)。 [💡 踩分点：正确算出底面积值得 10分]
套用棱锥锥体体积计算公式，可得：\(V_{A_1-ABD} = \frac{1}{3} \times S_{\triangle ABD} \times AA_1 = \frac{1}{3} \times 2 \times 3 = 2\)。 [💡 踩分点：套用三分之一核心公式且结果算对累计得 12分]